%% ESERCIZIO I 
% Generare 100 osservazioni da una distribuzione normale trivariata con
% vettore delle medie uguale a zero e matrice di covarianze (Sigma)
% riportata di seguito
%          1.00          0.87          0.92
%          0.87          1.00          0.90
%          0.92          0.90          1.00
% Per replicabilità dei risultati utilizzare rng(11).
% Applicare a questa matrice l'analisi in componenti principali partendo
% dalla matrice degli scostamenti dalla media Xtilde. 
% Motivare come mai in questo esempio non si parte dalla matrice degli
% scostamenti standardizzati.
% Mostrare la tabella della varianza spiegata (relativa e cumulate) dalle
% diverse componenti principali. Discutere
% 1) il numero di PC ottimo;
% 2) l'interpretazione della prima PC nel caso in cui le tre variabili
% originarie fossero state collegate a tre test di intelligenza;
% 3) gli angoli tra le frecce nel biplot
%
% Calcolare la matrice di covarianze in maniera matriciale.
% Denominare questa matrice S
% Estrarre dalla matrice S gli autovalori (ordinati in senso non
% decrescente) i rispettivi autovettori e i corrispondenti valori singolari.
% Verificare che il primo valore singolare sia uguale a quello ottenuto
% utilizzando la funzione pcaFS.
% Inserire i valori singolari della matrice S in un vettore colonna di
% lunghezza 3 denominato gamma.
%
% Calcolare la matrice che rappresenta la miglior rappresentazione di rango
% 1 della matrice originaria in termini di scostamenti dalla media.
% Denominare questa matrice Xhat.
% Verificare tramite assert che la matrice Xhat abbia rango 1.
% Qual è la sommma dei quadrati delle differenze tra la matrice Xtilde e la
% matrice Xhat?
% Calcolare la somma dei quadrati degli scostamenti in due modi diversi e
% verificare che entrambi i modi producono gli stessi risultati.
%
% Chiudere tutte le finestre grafiche Costruire il diagramma di dispersione
% 3D tra le 3 variabili originarie in termini di scostamenti dalla media.
% Aggiungere a questo diagramma di dispersione la linea (retta) di massima
% variabilità (linea associata alla prima componente principale).
% Aggiungere al grafico 3D le etichette degli assi ed impostare l'opzione
% di uguale scala tra i diversi assi cartesiani.
%
% Creare una nuova figura con le informazioni della figura precedente e
% l'aggiunta delle proiezioni ortogonali lunga la retta principale
%
% Qual è la lughezza della proiezione ortogonale dell'unità 5 lungo la retta
% principale? Calcolare la distanza euclidea dall'origine dell'unità 5
% proiettata lungo la retta principale.
%
% Calcolare la lunghezza dei semiassi principali dell'ellissoide
% (x-xmedio)' S^-1 (x-xmedio) =1 
%
% Discutere la relazione tra lo scostamento quadratico medio della prima
% componente principali e la lunghezza del primo semiasse principale.

%
% Rappresentare i dati originali tramite coordinate parallele utilizzando
% la funzione parallelcoords. Che tipo di rappresentazione ci si attende?
%
%
% Applicare alla matrice dei dati originaria, il metodo delle k medie
% imponendo 3 gruppi. Utilizzare un numero di repliche pari a 50.
% Visualizzare l'assegnazione delle unità ai diversi gruppi tramite la
% funzione spmplot. Commentare i gruppi che sono stati ottenuti. Scegliere
% automaticamente il numero ottimo dei gruppi tramite la funzione
% evalclusters utilizzando come criterio l'indice di Calinski e Harabasz.
% Utilizzare un numero di gruppi che varia da 1 a 6. Rappresentare
% graficamente l'ouptut della funzione evalclusters.
% Commentare i gruppi che vengono trovati con il valore di k ottimo.
%

% ESERCIZIO II
% Caricare la tabella di contingenza presente dentro il file car.mat di
% FSDA. Questa tabella di contingenza si riferisce alle tipologia di auto
% (righe) e agli attributi che le contraddistinguono (colonne). Calcolare
% il p-value dell'indice Chi2 e discutere la sua relazione con l'inerzia
% totale della tabella di contingenza. Che caratteristiche presentano le
% auto che si trovano nel primo quadrante nel grafico di analisi delle
% corrispondenze?
%
% Utilizzando la funzione CorAnaplot costruire il grafico di analisi delle
% corrispondenze in modo tale che il colore delle etichette dei punti riga
% sia proporzionale alla comunalità (quota di inerzia spiegata) di ogni punto.
% Suggerimento: utilizzare l'opzione  plots.ColorMapLabelRows.
% Commentare il grafico ottenuto. 
% Discutere la differenza in termini di inerzia spiegata tra la Ferrari e
% la Porsche. 
% Calcolare la quota esatta dell'inerzia di Ferrari e Porsche spiegata
% dalle due dimensioni latenti.


%% ESERCIZIO III
% Creare una nuova funzione (denominata erone.m) che dati come argomenti di
% input la lunghezza dei 3 lati di un triangolo, applichi la formula di
% Erone per calcolare l'area del triangolo.
% https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Erone. 
% Ad esempio la chiamata a erone(3,4,5) deve produrre come risultato 6.
% Inserire un controllo che fornisca un messaggio di errore se l'utente
% fornisce un numero inferiore a 3 di argomenti di input. Fare in modo che
% la funzione restituisca i due modi per calcolare la formula di Erone
% descritta alla pagina di wikipedia.