%% Esercizi sulle scomposizioni matriciali

% Generare una matrice di numeri casuali denominata X di dimensione nxp (ad esempio
% n=100 e p=5). 
% Calcolare il rango della matrice X tramite la funzione rank
% v. file 

% Calcolare la matrice di covarianze S.
% Verificare la scomposizione spettrale della matrice 
%  S=V \Lambda V'.
% Verificare l'ortogonalità della matrice V
% Verificare che la somma degli autovalori coincide con la traccia della
% matrice S.
% Verificare che il prodotto degli autovalori coincide con il determinante della
% matrice S.

% Riordinare le colonne della matrice V e La (\Lambda) in modo tale che
% La(1,1) sia il grande autovalore e V(:,1) sia l'autovettore associato
% La(2,2) sia il secondo più grande autovalore e V(:,2) sia l'autovettore associato
% ......

% Verificare tramite la funzione rank che la matrice pxp 
% v_i v_i^' abbia rango 1, i=1, 2, ..., p 
% Ricostruire la matrice S tramite la somma di p matrice quadrate ciascuna
% di rango 1
% $$\sum_i=1^p \lambda_i v_i v_i^'$$

% Effettuare la scomposizione in valori singolari della matrice Xtilde
% Xtilde= U \Gamma Vtramitesvd^'
% Verificare che la matrice Vtramitesvd è uguale (a meno del segno) alla matrice V ottenuta tramite la
% scomposizione spettrale della matrice S
% Verificare che (\Gamma/sqrt(n-1)).^2 = \Lambda dove \Lambda è la matrice
% degli autovalori ottenuta in precendenza

% OSSERVAZIONE: tenere presente che nella scomposizione spettrale gli autovalori sono ordinati
% dal più piccolo al più grande
% nella scomposizione in valori singolari i valori singolari (radici
% quadrate degli autovalori) sono ordinati dal più grande al più piccolo

% Controllare che la matrice di dimensione nxp $\gamma_i u_i v_i^'$ 
% abbia rango 1, i=1, 2, ..., p

% Ricostruire la matrice Xtilde tramite la somma di p matrici di dimensioni nxp
% ciascuna di rango 1 
% $\sum_i=1^p \gamma_i u_i v_i^'$

% Calcolare la somma dei quadrati delle differenze che si ottengono quando
% la matrice Xtilde viene approssimata dalla matrice Xcappello
% Xcappello=$\sum_i=1^2 \gamma_i u_i v_i^'$
% ossia dalla matrice di rango 2 contenente i due autovalori più grandi 
% Verificare che la somma dei quadrati delle differenze è uguale alla somma
% dei quadrati dei valori singolari (somma che va da 3 a p).
% Calcolare la somma dei quadrati delle differenze in maniera matriciale e
% non matriciale 
% Osservazione: data una matrice X la somma dei quadrati degli elementi
% di X in maniera matriciale si scrive = traccia(X' X)=traccia (X X')