% La zona B2:D113 del foglio dati del file Excel contiene i punteggi di tre
% test (d'intelligenza) sostenuti da 112 studenti. Importare i dati dentro
% MATLAB.
% Dopo aver standardizzato i dati:
% 1) calcolare le distanze euclidee dal centroide per ogni unità utilizzando un ciclo for  
% e la formula (z_i' z_i)   i=1, 2, ...., n
% 2) calcolare le distanze euclidee dal centroide senza cicli for 
% 3) Calcolare la matrice di correlazione R utilizzando le formule
% matriciali Z'Z/(n-1)
% 4) calcolare le distanze di Mahalanobis dal centroide.
% sqrt z_i R^-1 z_i , ................... i=1, 2, .... n
%
% Discutere se in questo esempio è preferibile lavorare con le distanze
% euclidee oppure con le distanze di Mahalanobis. Dire come sarebbero
% cambiate le distanze di Mahalanobis se avessimo operato sui dati
% originari (non standardizzati) ed avessimo utilizzato la matrice di
% covarianze anziché la matrice di correlazione. 
% (x_i -xmedio)' S^-1 (x_i-xmedio)   i=1, 2, .... n

% Standardizzare i dati tramite la mediana ed il MAD
% a) utilizzando un doppio ciclo for
% b) utilizzando un solo ciclo for riferito alle colonne
% c) senza cicli for
% d) utilizzando le formule di espanzione esplicita
% e) utilzzando la funzione zscoreFS dell'FSDA toolbox.
% La funzione zscoreFS per default utilizza il MAD riscalato
% Mad riscalato = norminv(3/4,0,1) * MAD

% Sui dati standardizzati in maniera robusta calcolare
% la matrice di correlazione tramite la funzione corr. Come cambia
% la matrice di correlazione rispetto a quella calcolata al punto 3)
%
% Calcolare le
% distanze di Mahalanobis dal centroide robusto. 
% sqrt z_i R^-1 z_i ,
% ................... i=1, 2, .... n
% Costruire il boxplot delle distanze di Mahalanobis al quadrato.
% Considerare come outliers gli studenti che presentano una distanza (al
% quadrato) di Mahalanobis  superiore alla soglia  x075+3 DI dove DI è la
% differenza interquartile e x075 è il terzo quartiile delle distanze di
% Mahalanobis al quadrato.
% Rappresentare le righe della matrice dei dati tramite facce oppure
% stelle. Commentare i risultati ottenuti.
%
% Costruire la  scatter plot matrix utilizzando un simbolo diverso le due
% unità dichiarate anomale
% Costruire un boxplot bivariato robusto (funzione boxplotb) tra le variabili 1 e 3 
% utilizzando un coefficiente di espansione uguale a 2.5

% Eliminare dalla matrice dei dati le righe identificate come anomale.
% Calcolare la matrice dei diagrammi di dispersione inserendo sulla
% diagonale principale i grafici ad istogrammi. Commentare i risultati
% ottenuti. 
% Sulla matrice ripulita dai valori anomali, dopo aver standardizzato i
% dati,  ridurre le dimensioni tramite la tecnica delle componenti
% principali.
% Discutere il numero appropriato di dimensioni da considerare. Calcolare
% le comunalità utilizzando solo la prima componente principale.
%
% Costuire il biplot inserendo sull'asse delle ascisse un titolo
% appropriato. Individuare lo studente più intelligente e quello meno
% intelligente nel grafico e commentare i risultati.