%% ESAME METODI QUANTITATIVI PER I MERCATI FINANZIARI  24/01/2024


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% DURATA: 1 ora e 30 minuti
%%% Il file Matlab (script), formato m oppure mlx, 
%%% va salvato con aNumeroMatricola (ad esempio a051485.m oppure
%%% a051485.mlx) e va caricato nella pagina che viene comunicata.
%%% La votazione finale terrà conto della qualità del codice e della 
%%% sua chiara presentazione. 
%%% Controllare che il codice che si scrive non produca errori!
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%% MODULO I (15 punti)
% Caricare in memoria la timetable (denominata sesame) che contiene le
% serie storiche delle importazioni mensili di semi di sesamo dall'India e
% dal Pakistan tramite l'istruzione load TTsesame.mat
load TTsesame.mat

% La descrizione del dataset è riportata di seguito:
% Monthly time series of quantities (in Kg) of sesame seeds imported
% from India (first column) and from Pakistan (second column) into the EU.
% The observed period goes from February 2020 to September 2022.
%
% Rappresentare le due serie storiche in due pannelli orizzontali in modo
% tale che se si fa click con il mouse in un qualsiasi punto all'interno
% del grafico, appare automaticamente una linea verticale che consente di
% visualizzare il valore delle due serie storiche in corrispondenza
% dell'istante temporale selezionato.
% Utilizzare come stile di linea "Dashed line" (punti 5)
stackedplot(sesame,'LineStyle',"--")


% Calcolare in una timetable denominata con le prime 3 lettere del proprio
% cognome la media delle importazioni annuali di semi di sesamo per le due
% serie storiche. Mostrare la timetable nella command window (punti 5)
RIA=retime(sesame,"yearly",'mean');
disp('Medie annuali')
disp(RIA)

% Partendo dalla timetable sesame estrarre tutti i record che si riferiscono
% alle importazioni nei mesi di marzo, aprile e maggio dell'intervallo di
% anni 2020-2021.
% Mostrare l'output nella Command Window (punti 5)
anni=sesame.Properties.RowTimes.Year==2020 | sesame.Properties.RowTimes.Year==2021;
mesi=sesame.Properties.RowTimes.Month>=3 & sesame.Properties.RowTimes.Month<=5;
disp('Importazioni mensili mesi mar, apr e mag anni 2020-2021')
disp(sesame(anni & mesi,:))

%% MODULO II (15 punti)


%% ESERCIZIO 1 (4 punti)

% Si supponga che sul mercato finanziario vi siano due titoli rischiosi.
% Il primo titolo ha un rendimento atteso del 4%, mentre il secondo un
% rendimento atteso del 5%. Supponendo di comprare 100 azioni del titolo 1
% che al momento hanno una quotazione di 10 euro e di comprare 50 azioni
% del titolo 2 che al momento hanno una quotazione di 40 euro, calcolare
% il rendimento atteso del portafogli, soggetto al vincolo di bilancio.
% Si assuma inoltre che la deviazione standard dei rendimenti del primo
% titolo è del 10%, mentre quella del secondo titolo del 15%. Se il
% coefficiente di correlazione è del 30%, si calcoli la deviazione standard
% del portafogli.

% Soluzione
A_1     = 100*10;          % l'ammontare investito nel primo titolo
A_2     = 50*40;           % l'ammontare investito nel secondo titolo
x_1     = A_1/sum(A_1+A_2);% il peso del primo titolo
x_2     = A_2/sum(A_1+A_2);% il peso del secondo titolo
x       = [x_1 x_2];       % il vettore dei pesi
mu_1    = 4/100;           % il rendimento atteso del primo titolo
mu_2    = 5/100;           % il rendimento atteso del secondo titolo
sigma_1 = 10/100;          % la deviazione standard del primo titolo
sigma_2 = 15/100;          % la deviazione standard del secondo titolo
rho_12  = 30/100;          % il coefficiente di correlazione tra i due titoli
mu      = [mu_1 mu_2];     % il vettore dei rendimenti attesi
V       = [sigma_1^2 sigma_1*sigma_2*rho_12;sigma_1*sigma_2*rho_12  sigma_2^2];
% la matrice di varianza-covarianza

mu_p    = mu*x';           % il rendimento atteso del portafogli
dev_p   = sqrt(x*V*x');    % la deviazione standard del portafogli

%% ESERCIZIO 2 (6 punti)

% Si consideri adesso un portafogli composto dai due titoli del punto
% precedente. Supponendo che i pesi del primo titolo si possano ricavare
% dalla sequenza: 0, 0.05, 0.1, 0.15,...,1 e che il vincolo di bilancio sia
% di nuovo rispettato, si crei un ciclo loop per calcolare la deviazione
% standard e il rendimento atteso del portafogli per ogni possibile
% combinazione. Si faccia il grafico nello spazio rischio-rendimento dei
% portafogli ottenuti e si aggiunga anche il portafogli calcolato al punto
% precedente.

% Soluzione
xnew_1      = 0:0.05:1;            % i pesi del primo titolo
xnew        = [xnew_1; (1-xnew_1)];% il vettore dei pesi
devnew_p    = zeros(1,length(xnew_1));
% prealloca la deviazione standard dei portafogli
munew_p     = zeros(1,length(xnew_1));
% prealloca il vettore dei rendimenti attesi dei portafogli
for i       = 1:length(xnew_1)
    devnew_p(i) = sqrt(xnew(:,i)'*V*xnew(:,i));
    % la deviazione standard del rendimento di ciascun portafogli
    munew_p(i)  = xnew(:,i)'*mu';
    % il rendimento atteso del rendimento di ciascun portafogli
end

%% effettua il plotting della deviazione standard e del rendimento atteso dei
%  portafogli generati precedentemente
figure('Name', 'Portafogli aleatori');
% il grafico viene disegnato in una nuova finestra
scatter(devnew_p,munew_p, 'MarkerEdgeColor',[0 .5 .5],...
    'MarkerFaceColor',[0 .7 .7],...
    'LineWidth',1.5);       % il grafico a dispersione
xlabel('Rischio (std)');              % il titolo dell'asse x
ylabel('Valore atteso');              % il titolo dell'asse y
title('Rischio-Rendimento');          % il titolo del grafico
hold on;                              % aggiungi grafici al grafico esistente
scatter(dev_p,mu_p,50, 'k', 'filled');% mostra anche il portafogli precedente
legend('Portafogli Aleatori con solo titoli rischiosi', ...
    'Portafogli del punto precedente', 'Location','northwest');
% aggiungi legenda al grafico
hold off;                             % interrompe la sovrapposizione di grafici

%% ESERCIZIO 3 (5 punti)

% Supponete che sul mercato ci sia anche un altro titolo con rendimento atteso
% pari all'1% e varianza dei rendimenti uguale a zero. Si calcoli la frontiera
% efficiente con tre titoli supponendo che il vincolo di bilancio sia di
% nuovo valido.

% Soluzione

% calcola la frontiera efficiente con due titoli rischiosi e uno non-rischioso
options = optimoptions('fmincon','Display', 'notify');
% visualizza l'output della funzione fmnicon solo se la funzione non converge

rf         = 1/100;% il  rendimento del terzo titolo (è un titolo non-rischioso!!)
n          = 2;    % il numero dei titoli rischiosi
numberp    = 100;  % il numero dei punti della frontiera efficiente
murf_p     = linspace(rf,max(mu),numberp);
% i rendimenti attesi desiderati
sigmarf_p  = ones(numberp,1);
% prealloca la deviazione standard dei portafogli
valore_iniziale = ones(n,1)/n;% imposta i valori di ipotesi/partenza
for i=1:numberp
    %%% per ciascun rendimento atteso murf_p calcola
    %%% la deviazione standard del portafogli utilizzando la funzione fmincon
    [~, fval] = fmincon(@(x) sqrt(x'*V*x), ...% la funzione da minimizzare
        valore_iniziale, ...          % imposta i valori di ipotesi/partenza
        [], [], ...                   % nessun vincolo di disuguaglianza
        mu-rf*ones(1,n), ...          % il termine Aeq -> vincolo di uguaglianza Aeq*x=beq
        murf_p(i)-rf, ...             % il termine beq -> vincolo di uguaglianza Aeq*x=beq
        [],[],[], options);           % non ci sono altri vincoli
    sigmarf_p(i) = fval;              % memorizza la deviazione standard corrispondente
end

%% effettua il plotting della frontiera efficiente richiesta
figure('Name', 'Frontiera Efficiente con un titolo non rischioso');
% il grafico viene disegnato in una nuova finestra
plot(sigmarf_p, murf_p);
% plotta la frontiera efficiente con il titolo non-rischioso incluso
title('Frontiera Efficiente con un titolo non rischioso');
% aggiungi un titolo al grafico
xlabel('Rischio (std)');       % il titolo dell'asse x
ylabel('Valore atteso');       % il titolo dell'asse y