% Obiettivo: calcolare gli indici di volatitlità 
% lower partial moments to examine what is colloquially known as "downside
% risk" (rischio di sottoperformance).
%
% Simulare 30 rendimenti dalla distribuzione N(-0.01,1) in una variabile
% denominata x. Utilizzare un seed pari a 12345 per la replicabilità dei
% risultati
%
% PARTE I) Calcolare la semideviazione standard (SDS) e l'indice di quota
% di rischio al ribasso QRR.
%
% PARTE II) Sia dato un valore del MAR  (minimum acceptable return) basato
% su tasso relativo ad un titolo risk free pari a 0.008, si calcolino: 
% 1) il numero di r_t che cadono sotto la soglia del MAR (momento di ordine
% 0 oppure Shortfall risk).
% 2) Il valore atteso al ribasso = Il rendimento medio con riferimento ai
% rendimenti che cadono sotto la soglia del MAR (momento di ordine 1). 
% 3) La varianza dei rendimenti che cadono sotto la soglia del MAR (momento
% di ordine 2).
% 
% PARTE III) Si calcolino in automatico i precedenti indici della PARTE II
% tramite la funzione lpm. Verificare l'uguaglianza dell'implementazione
% manuale con quella automatica.
% Mostrare una table riassuntiva dei tre momenti calcolati sopra
% utilizzando come nomi delle righe "Rischio di Shortfall"  "Valore atteso
% al ribasso" "Deviazione al ribasso";

%% Generazione dei dati 
n=30;
rng(12345)
x=randn(n,1)-0.01;
% Generare 30 numeri dalla distribuzione N(-0.01,1) in una variabile
% denominata x. Utilizzare un seed pari a 12345 per la replicabilità dei
% risultati

%% Calcolare la semideviazione standard (SDS)
MEDIA=mean(x);
xSottoMEDIA=x(x<MEDIA);
SDS=sqrt(sum((MEDIA-xSottoMEDIA).^2)/(n-1));
disp("Semideviazione standard")
disp(SDS)

%% Calcolo della quota di rischio al ribasso (QRR)
QRR=SDS^2/var(x);
disp('Quota di rischio al ribasso')
disp(QRR)

% QRR= importanza della parte della varianza proveniente dal lato sinistro
% della distribuzione.
% In questo caso circa il 54 per cento

%% PARTE II) Sia dato un valore del MAR  (minimum acceptable return) basato su tasso relativo ad
% un titolo risk free pari a 0.008, si calcolino:
% 1) il numero di r_t che cadono sotto la soglia del MAR (momento di ordine
% 0 oppure Shortfall risk)
% 2) Il valore atteso al ribasso = Il rendimento medio con riferimento ai rendimenti che cadono sotto la soglia del MAR
% (momento di ordine 1)
% La varianza dei rendimenti che cadono sotto la soglia del MAR (momento di
% ordine 2).

% Definisco la soglia del MAR
MAR=0.008;

% Calcolo i momenti fino all'ordine definito nella variabile pp
pp=2;

% Seleziono i rendimenti sotto la soglia del MAR
xSottoMAR=x(x<MAR);
Momp=zeros(pp+1,1);
for p=0:pp
    momp=sum((MAR-xSottoMAR).^p)/n;
    Momp(p+1)=momp;
end

%% Calcolo dei momenti tramite la funzione lpm
MompAUTO=lpm(x,MAR,0:pp);


%% Controllo uguaglianza tra le due implementazioni
assert(max(abs(Momp-MompAUTO))<1e-12,"Misure di downside calcolate male")

%% Creazione table riassuntiva
nomiRows=["Rischio di Shortfall", ...
    "Valore atteso al ribasso", "Deviazione al ribasso"];
disp(array2table(MompAUTO,"RowNames",nomiRows));